Parallelle of nevenreacties van de eerste orde: concept

$$ \ vereisen {cancel} \\\ ce {A -> [ k_1] B} \ \ t = 0 \\\ ce {A -> [k_2] C} \ \ t = t $$ $$ - \ frac {\ mathrm d [A]} {\ mathrm dt} = k_1 [A] + k_2 [A] $$ $$ - \ frac {\ mathrm d [A]} {\ mathrm dt} = k_ \ text {eff} [A] \ land k_ \ text {eff} = k_1 + k_2 $$

Effectieve volgorde = 1

$$ \ left (t_ {1/2} \ right) _ \ text {eff} = \ frac {\ ln 2} {K_ \ text {eff}} $$

$$ \ frac 1 {(t_ {1/2}) _ \ text {eff}} = \ frac {1} {(t_ {1/2}) _ {1}} + \ frac {1} {(t_ {1/2}) _ {2}} $$

$$ A_ \ text {eff} \ mathrm e ^ {- E_ \ mathrm a / (RT)} = (A_1 + A_2) \ mathrm e ^ {- E_ \ mathrm a / (RT)} $$

Maak onderscheid met betrekking tot $ T $ ,

$$ {\ frac {E_ \ mathrm a} {RT ^ 2}} \ cdot k_ \ text {eff} = \ frac {(E_ \ mathrm a) _1 k_1} {RT ^ 2} + \ frac {(E_ \ mathrm a) _2 k_2} {RT ^ 2} $$

$$ (E_ \ mathrm a) _ \ text {eff} = \ frac {(E_ \ mathrm a) _1 k_1 + (E_ \ mathrm a) _2 k_2} {k_ \ text {eff}} $$

$$ [A] _ \ mathrm t = [A] _0 \ mathrm e ^ {- k_ \ text {eff} t} $$

$$ a_t = a_0 \ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2) t} $$

$$ \ frac {\ mathrm d [B]} {\ mathrm dt} = k_1 [A] = k_1a_0 \ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2) t} $$

$$ \ int \ limieten_ {0} ^ {b_t} \ mathrm d [B] = k_1 a_0 \ int \ limieten_0 ^ t \ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2) t} \, \ mathrm dt $$

$$ b_t = \ frac {k_1 a_0} {- (k_1 + k_2)} [\ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2) t}] _ 0 ^ t $$

$$ b_t = \ frac {k_1 a_0} {k_1 + k_2} (1- \ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2) t}) $$

vergelijkbaar,

$$ c_t = \ frac {k_2 a_0} {k_1 + k_2} (1- \ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2) t}) $$

$$ \ frac {[B]} {[C]} = \ frac {k_1} {k_2} $$

• aandeel van $ B = \ frac {[B]} {x} = \ frac {k_1} {k_1 + k_2} $ [maal 100 voor percentage]
• aandeel van $ C = \ frac {[C]} {x} = \ frac {k_2} {k_1 + k_2} $ span > [maal 100 voor percentage]

Het werkelijke probleem

\ begin {align} & \ ce {A-> [\ textit {k} _1] P} &k_1 & = \ frac {\ ln 2} {t_ {1/2}} = \ frac {\ ln 2} {9} \ \ text {hr} ^ {-1} \\ & \ ce {A-> [\ textit {k} _2] Q} &k_2 & = \ frac {\ ln 2} {t_ {1/2}} = \ frac {2 \ ln2} { 9} \ \ text {hr} ^ {- 1} \\\ end {align}

$$ Q_t = \ frac {k_2a_0} {k_1 + k_2} (1- \ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2) t}) = 2A_t $$

$$ \ frac {k_2 \ annuleren {a_0}} {k_1 + k_2} \ mathrm {(1-e ^ {- (k_1 + k_2) t})} = 2 \ annuleren {a_0} \ mathrm e ^ {- (k_1 + k_2 ) t} $$

$$ \ frac {\ annuleren 2} {3} (1- \ mathrm e ^ {- k_ \ text {eff} t}) = \ annuleer 2 \ mathrm e ^ {- k_ \ text {ef f} t} $$

$$ \ mathrm e ^ {- k_ \ text {eff} t} = \ frac {1} { 4} $$

$$ \ impliceert k_ \ text {eff} t = \ ln 4 = \ frac {3 \ ln 2} { 9} t $$

$$ \ impliceert t = 6 \ mathrm h $$

Dus dat geeft het antwoord als 6 uur.

De vraag is al beantwoord door Yashwini en het gegeven antwoord is correct. $ ^ 2 $ Een meer intuïtieve en specifiek te vragen uitleg zou hier volgen.

Nu zijn de twee gegeven reacties:

\ begin {array} { cc} \ vereist {annuleren} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\\ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4.5 \, \ mathrm h) \\\ end {array}

Nu we de tariefwet gebruiken, krijgen we,

\ begin {uitlijnen} - \ frac {\ mathrm {d} [A]} {\ mathrm {d} t} & = k_ \ mathrm P [A] \ tag {1} \\ - \ frac {\ mathrm { d} [A]} {\ mathrm {d} t} & = k_ \ mathrm Q [A] \ tag {2} \\\ end {align}

De snelheidsconstante voor een eerste orde reactie met een halfwaardetijd van $ t_ {1/2} $ wordt gedefinieerd als:

$$ k = \ frac {\ ln 2} {t_ {1/2}} \ tag {3} $$

Vervang nu de gegeven waarden van $ t_ {1/2} $ in de vergelijkingen, krijgen we $ 2k_ \ mathrm P = k_ \ mathrm Q $ (sinds $ k \, \ alpha \ frac {1} {t_ {1/2}}) $

Nu, intuïtief aangezien beide reacties samen plaatsvinden, het zou betekenen dat voor elke mol gevormd P, twee mol Q wordt gevormd. Daarom reageren voor elke mol gevormd P drie mol A (aangezien één mol nodig is voor elke mol P en Q).

Nu voegen we de snelheidswetten toe ( $ 1 $ ) en $ (2) $ , aangezien de reacties gelijktijdig plaatsvinden, om:

$$ - \ frac {\ mathrm {d} [A]} {\ mathrm {d} t} = (k_ \ mathrm P + k_ \ mathrm Q) [A] \ tag { 4} $$

Nu, aangezien de relatie tussen $ k_ \ mathrm {P} $ en $ k_ \ mathrm {Q} $ , we krijgen $ k_ \ mathrm {P} + k_ \ mathrm {Q} = 3k_ \ mathrm {P } $

Als we daarom de geïntegreerde snelheidswet gebruiken voor een eerste orde reactie op vergelijking $ (4) $ , krijgen we:

$$ A = A_0e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} $$

Nu, het bedrag van $ A $ die hier wordt gebruikt, zou $ A_0 -A $ zijn, en we krijgen die waarde als volgt:

$$ A_ \ text {used} = A_0 \ left (1-e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} \ right) $$

Nu, zoals we eerder hebben opgemerkt , voor elke drie gebruikte mol A worden twee mol Q gevormd. Dit betekent dat de hoeveelheid Q die nu in het mengsel zit, tweederde zou zijn van $ A_ \ text {used} $ . Daarom zou het aantal Q zijn:

$$ Q = \ frac {2A_0 \ left (1-e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} \ right) } {3} $$

Nu krijgen we de voorwaarde $ Q = 2A $ , waarbij de waarden $ Q $ en $ A $ in de gegeven relatie die we krijgen:

$$ \ begin {align} \ frac {\ annuleer {2A_0} \ left (1-e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} \ right)} {3} & = \ annuleer {2A_0} \ left (e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} \ right) \\\ impliceert 1 -e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} & = 3e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} \\\ impliceert 4e ^ {- 3k_ \ mathrm Pt} & = 1 \ end {align} $$

Als we $ t $ oplossen, krijgen we:

\ begin {align} 3k_ \ mathrm Pt& = 2 \ ln 2 \\ \\ t& = \ frac {2 \ ln 2} {3k_ \ mathrm P} \ \\ end {align}

Nu we vergelijking $ (3) $ gebruiken, krijgen we de snelheidsconstante $ k_ \ mathrm P $ wordt $ \ frac {\ ln 2} {9} $ . Als we deze waarde in de uitdrukking vervangen door tijd, krijgen we:

$$ t = \ frac {2 \ annuleren {\ ln 2}} {\ annuleren {3 } \ frac {\ annuleren {\ ln 2}} {\ cancelto {3} {9}}} $$

Daarom is de tijd die nodig is om deze voorwaarde te laten optreden:

$$ t = 2 \ times 3 = 6 \ \ mathrm h $$ span >